Πως η τυχαιότητα μπορεί να κάνει τα Μαθηματικά ευκολότερα!

Η τυχαιότητα φαίνεται να καθιστά δυσκολότερη την απόδειξη μιας μαθηματικής δήλωσης. Στην πραγματικότητα, συχνά κάνει το αντίθετο.

Από όλα τα εργαλεία που διαθέτει ο μαθηματικός, η τυχαιότητα φαίνεται να προσφέρει ελάχιστα οφέλη. Οι μαθηματικές κυκλοφορίες σε λογική και αυστηρότητα. Οι ευρείς στόχοι του είναι να βρει τάξη και δομή σε μια τεράστια θάλασσα αντικειμένων. Είναι ακριβώς επειδή ο μαθηματικός κόσμος δεν είναι τυχαίος ότι η όλη επιχείρηση των μαθηματικών είναι δυνατή.

Ωστόσο, το πρόσφατο άρθρο Quanta “Τυχαίες επιφάνειες κρύβουν μια περίπλοκη τάξη” αφορούσε μια νέα απόδειξη στην οποία η τυχαιότητα έκανε όλη τη διαφορά. Το αποτέλεσμα περιλαμβάνει μοτίβα που μοιάζουν με σκακιέρες που σχεδιάζονται πάνω από γεωμετρικούς χώρους που κατασκευάζονται τυχαία. Οι συντάκτες της απόδειξης διαπίστωσαν ότι η τυχαιότητα του γεωμετρικού χώρου καθιστούσε ευκολότερη την περιγραφή των μοτίβων σκακιέρας. “Είναι λίγο έκπληξη το γεγονός ότι η προσθήκη τυχαίων στοιχείων σας δίνει τη δυνατότητα να κάνετε περισσότερα από όσα μπορείτε” χωρίς αυτό, δήλωσε ο Nicolas Curien, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Paris-Sud και συν-συγγραφέας του έργου.

Όπως αποδεικνύεται, η τυχαιότητα είναι χρήσιμη στα μαθηματικά με πολλούς τρόπους.

Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί συχνά θέλουν να αποδείξουν ότι υπάρχει ένα αντικείμενο με μια συγκεκριμένη ιδιότητα, όπως ένα γεωμετρικό αντικείμενο που παρουσιάζει ιδιαίτερες συμμετρίες. Ο πιο άμεσος τρόπος επίλυσης αυτών των προβλημάτων ύπαρξης είναι να βρείτε ένα παράδειγμα ενός αντικειμένου με τις ιδιότητες που ακολουθείτε. Αλλά καλή τύχη με αυτό. “Μπορεί να είναι δύσκολο να εμφανιστεί ένα συγκεκριμένο αντικείμενο με την εν λόγω ιδιοκτησία”, δήλωσε ο Martin Hairer, ένας νικητής του Medal Fields, του οποίου η εργασία περιλαμβάνει τυχαίες διαδικασίες.

Εάν μια άμεση επίθεση στο πρόβλημα είναι απίθανο να επιτύχει, μπορεί να δοκιμάσετε μια επίθεση στο πλευρό. Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να δείξετε ότι εάν εξετάζατε όλα τα αντικείμενα συγκεκριμένου τύπου και, στη συνέχεια, επιλέξτε ένα από αυτά τυχαία, υπάρχει μεγαλύτερη από 0% πιθανότητα να επιλέξετε ένα με την απαιτούμενη ιδιότητα. Αυτή η “πιθανολογική μέθοδος” πρωτοστάτησε από τον μαθηματικό Paul Erdos.

Η τυχαιότητα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί μια διαδρομή προς μια μη ενδιάμεση λύση. Αυτό συνέβη στην πρόσφατη απόδειξη σχετικά με τα σχέδια τύπου σκακιέρας σε ένα πλέγμα. Οι ερευνητές ενδιαφέρθηκαν για μια διαδικασία που ονομάζεται διείσδυση, στην οποία θέλετε να μάθετε υπό ποιες συνθήκες είναι εφικτό να ταξιδεύετε σε σημεία μόνο ενός χρώματος από τη μια πλευρά του πλέγματος στο άλλο.

Όταν σχεδιάζετε μια τέτοια διαδρομή σύμφωνα με τους ντετερμινιστικούς κανόνες – κατά μήκος των άκαμπτα καθορισμένων γραμμών ενός κανονικού πλέγματος – κάθε επόμενο βήμα στην πορεία δεσμεύεται από κάθε βήμα στην πορεία που έχει προηγηθεί. Στην περίπτωση ενός πολύπλοκου δικτύου, αυτή η απαίτηση είναι κάτι το βάρος. Είναι παρόμοιο με το πώς τα πρώτα κομμάτια σε ένα παζλ Tetris είναι εύκολο να το τοποθετήσετε – μπορείτε να τα τοποθετήσετε όποτε θέλετε – αλλά αργότερα αυτά είναι πολύ πιο δύσκολα, επειδή πρέπει να συμμορφώνονται με όλα τα κομμάτια που έχετε ήδη καθορίσει.

Ωστόσο, όταν η πορεία σας προχωρεί τυχαία, δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τα προηγούμενα βήματα. Κάθε βήμα είναι, κατά μία έννοια, τόσο ελεύθερο όσο το πρώτο: Απλά γυρίστε ένα νόμισμα για να αποφασίσετε πού να πάτε στη συνέχεια.

Οι μαθηματικοί προσπαθούν να εκμεταλλευτούν αυτό το γεγονός. Υπάρχει μια εικαστική σχέση, γνωστή ως ο τύπος KPZ, που λέει στους μαθηματικούς πώς να μετατρέψουν ένα αποτέλεσμα για το τυχαίο πλέγμα σε ένα αποτέλεσμα για το ντετερμινιστικό ή το αντίστροφο. “Θεωρητικά αυτό σημαίνει ότι είστε ελεύθεροι να υπολογίσετε είτε την τυχαία είτε τη ντετερμινιστική πλευρά, δήλωσε ο Olivier Bernardi, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Brandeis και συν-συγγραφέας της πρόσφατης εργασίας. Αυτό το νέο έργο είναι σύμφωνο με τα προηγούμενα (πολύ πιο δύσκολο να αποδειχθούν) αποτελέσματα σχετικά με τη διήθηση σε ένα κανονικό πλέγμα, επικυρώνοντας τον τύπο KPZ.

Εάν τα μαθηματικά ήταν ευκολότερα, οι μαθηματικοί ίσως να μην χρειαστεί να καταφύγουν σε τυχαιότητα. Αλλά τα πιο σημαντικά μαθηματικά ερωτήματα είναι πολύ δύσκολα για τους μαθηματικούς να απαντήσουν άμεσα. “Είναι κάτι που μπορεί να είναι προφανές, αλλά είναι καλό να θυμόμαστε ότι, τις περισσότερες φορές, εάν δηλώσετε ένα πρόβλημα στη μαθηματική ή θεωρητική φυσική, είναι αδύνατο”, δήλωσε ο Paul Bourgade, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης. “Εμείς απλά δεν έχουμε τα εργαλεία για να το λύσουμε”. Σε μερικές από αυτές τις καταστάσεις, η τυχαιότητα χαλαρώνει τα πράγματα αρκετά ώστε να καταστεί δυνατή μια λύση.

Πατήστε εδώ για να συνεχίσετε

ΑΦΗΣΤΕ ΜΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Please enter your comment!
Please enter your name here